无穷小和无穷大

本文章始于2023年7月19日下午

（一）无穷小

1、无穷小的概念

若函数$ f(x) $当$ x \rightarrow x_0 $(或$ x \rightarrow ∞) $时的极限为零，则称$ f(x) $为$ x \rightarrow x_0 $或$ x \rightarrow ∞ $时的无穷小量

注：以0为极限的变量称为无穷小量；提到无穷小量，必须指明极限过程

我感觉在无穷小量和无穷大量这部分内容中，无穷小量是重点，因为无穷小量的内容要比无穷大量多许多

2、无穷小的性质

（1）有限个无穷小的和仍是无穷小

（2）有效个无穷小的积仍是无穷小

（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小

注：两个无穷小的商不一定是无穷小,有多种不同的情况

$\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{x^2}{3x}}=0$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{3x}{x^2}}=\infty$，$\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{\sin x}{3x}}=\frac{1}{3}$

为什么两个无穷小的商不一定是无穷小？

在数学中，无穷小是指无限接近于零的量。当我们讨论两个无穷小的商时，并不一定能得到无穷小的结果。这是因为无穷小的性质取决于它们的增长率。

如果两个无穷小的增长率相同，那么它们的商可能是无穷小。例如，如果无穷小 a 和无穷小 b 都以相同的速度趋近于零，那么它们的商 a/b 可能是无穷小。

但是，如果两个无穷小的增长率不同，它们的商就不一定是无穷小。例如，如果无穷小 a 的增长率比无穷小 b 更快，那么它们的商 a/b 可能不是无穷小，而是趋近于某个有限的非零值。

因此，两个无穷小的商是否是无穷小，取决于它们各自的增长率。如果增长率相同，可能是无穷小；如果增长率不同，可能是有限的非零值。

为了更好的说明这点，可以用python代码来举一个实际的例子

># 例子1
>n = 1000
>a = 1 / n
>b = 1 / n**2
>result = a / b
>print(result)  # 输出：1000
># 例子2
>n = 1000
>a = 1 / n
>b = 2 / n
>result = a / b
>print(result)  # 输出：0.5

在第一个例子中，我们选择 n 的值为 1000，然后计算 a 和 b。最后，我们计算 a/b 的商并打印结果。你会发现，结果是 1000，而不是无穷小。

在第二个例子中，我们同样选择 n 的值为 1000，然后计算 a 和 b。最后，我们计算 a/b 的商并打印结果。你会发现，结果是 0.5，一个有限的非零值。

3、无穷小的比较

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$,那么就说β是比α高阶的无穷小，记作β=$\omicron(\alpha)$

如果$ \lim \frac{\beta}{\alpha}=∞ $,那么就说β是比α低阶的无穷小

如果$ \lim \frac{\beta}{\alpha}=c \neq 0$,那么就说β和α是同阶无穷小

如果$\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c \neq 0 $,那么就说β是关于α的k阶无穷小

如果$ \lim \frac{\beta}{\alpha}=1 $,那么就说β与α是同阶无穷小，记作$ \beta $ ~ $ \alpha $

4、无穷小的两个定理

定理1：$\beta$与$\alpha$是等价无穷小的充分必要条件是$\beta = \alpha + \omicron(\alpha)$

定理2：设$\alpha \sim \widetilde{\alpha},\beta \sim \widetilde{\beta}$，且$\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$ 存在，则$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}$

定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替。因此，如果用来代替的无穷小宣德适当的话，就可以使计算简化。

现在我明白为什么要学无穷小量和无穷大量了，因为无穷小量可以使极限的运算得到简化，更具体的说是无穷小量的定理可以使极限的运算得到简化。

由此，我认为，在学习每一个数学知识的时候，都应该思考这个知识有什么用以及这个知识与其他学过数学知识有什么关联或联系吗？

5、常用的等价无穷小

为了方便极限的运算，我建议要去记忆一些常见的、常用的等价无穷小

$\sin x \sim x (x \to 0)$

$\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x (x \to 0)$

$\tan x \sim x(x \to 0)$

$\arcsin x \sim x(x \to 0)$

$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2(x \to 0)$

$\arctan x \sim x(x \to 0)$

$\sec x-1 \sim \frac{x^2}{2}$

6、无穷小的等价关系的性质

（1）自反性：$\alpha \sim \alpha$

（2）对称性：若$\alpha \sim \beta$，则$\beta \sim \alpha$

（3）传递性：若$\alpha \sim \beta$,$\beta \sim \gamma$,则$\alpha \sim \gamma$

（二）无穷大

1、无穷大的概念

如果当$x \to x_0$（或$x \to ∞$）时，对应的函数值的绝对值$|f(x)|$可以大于预先指定的任何很大的正数M，那么就称函数$f(x)$是当$x \to x_0$（或$x \to ∞$）时的无穷大。

注意：按函数极限的定义来说，$x \to x_0$（或$x \to ∞$）时的无穷大的函数$f(x)$的极限是不存在的。但为了方便描述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大的”

2、无穷大的相关定律和定理

定律：一般来说，如果$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=∞ $ ,那么直线$x=x_0$是函数$y=f(x)$的图形的铅直渐近线

定理：在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x) \neq 0$，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大