视频：

【抓大头抓小头大总结，求极限方法重要方法】 https://www.bilibili.com/video/BV1KT411t7Sk/?share_source=copy_web&vd_source=a588b30b1c8de1d716699b8ae558538f

（1）$\frac{\infty}{\infty}$型

①

当$x \to +\infty$时，$x^x>>a^x(a>1)>>x^a(a>0)>>\ln x$

举例说明：

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln n}{n}=0$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x^{1000}}{x^1}=0$

再比如：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7x^x+2^x+3\ln x}{5x^x+\ln x}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7x^x}{5x^x}=\frac{7}{5}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2^x+3\ln x+x}{3·2^x+x}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2^x}{3·2^x}=\frac{1}{3}$

②

多项式抓大头

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m}=\begin{cases} \frac{a_0}{b_0}\quad n=m \ 0\quad n<m \ \infty\quad n>m \end{cases}\quad(a_0\neq0,b_0\neq0)$

注意上面等号后面三个值的前提是$(a_0\neq0,b_0\neq0)$

这个和上面那个①有什么区别吗？感觉好像差不多。

事实上，确实是没什么区别的，这个②只是对①的一个细分

举例说明：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[]{4x^2+1}+x}{\sqrt[]{4x^2+\sin x}-x}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[]{4x^2}+x}{\sqrt[]{4x^2}-x}（常数项忽略）$

$=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x+x}{2x-x}=3$

再比如：

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt[]{4x^2+1}+x}{\sqrt[]{4x^2+\sin x}-x}=\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt[]{4x^2}-x}{\sqrt[]{4x^2}+x}（常数项忽略$

$=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x-x}{2x+x}=\frac{1}{3}$

③

进阶”ln”型抓大头

$若f\to+\infty且f>>g，则\ln{(f+g) ～ \ln f}$

举例说明

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(1+e^{2x})}{\ln(1+e^{x}}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln e^{2x}}{\ln e^{x}}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x}{x}=2$

再比如：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(x^{100}+2x)}{\ln(x^{70}+4x)}=\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x^{100}}{\ln x^{70}}=\frac{100}{70}$

（2）易错点

①

“$\infty-\infty$”不能抓大头

比如：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sqrt[]{x^2+x}-\sqrt[]{x^2} \neq \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt[]{x^2}-\sqrt[]{x^2}=0$

②

振荡三角型函数不能抓大头

比如：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sin^2(\pi\sqrt[]{n^2+n})\neq\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin^2(n\pi)$

（3）抓小头

$当x \to 0时，x^m+x^n \sim x^m\quad(m<n)$

$0.01^2>>0.01^3$

$0.01^2+0.01^3≈0.01^2$

比如：

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x+x^2}{\sin x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin x}=1$

（4）总结

①什么适合抓大头

$\frac{\infty}{\infty}，\ln$

②什么时候不能抓

$\infty-\infty，\sin(\sqrt[]{\quad})$

③什么时候抓小头

$x^m+x^n \sim x^m\quad (m<n)$